sábado, 6 de noviembre de 2010

Un reflejo es una simetría espacial o en el plano (http://giros-traslaciones-simetrias.blogspot.com/):
En el espacio el prisma verde tiene en su punto A por imagen a A’ y el plano de simetría (el espejo) es perpendicular a la línea AA’ y queda en el punto medio de esa misma línea.
La simetría plana se da por ejemplo en las sombras de los cuerpos, siendo el eje e la intersección del espejo con el suelo. La imagen del punto B se convierte en sí misma, por lo que es un punto doble.Las figuras reflejadas sobre el espejo plano, orientadas siempre a la inversa, se llaman virtuales pues se pueden ver directamente (no como las reales en las que es necesaria una pantalla para obtener su imagen, como algunas reflexiones de espejos cóncavos).


Dos espejos dividen el espacio en 4 partes, por lo que aparecen 4 figuras. La imagen de A es C a la derecha y B a la izquierda. Donde se refleja C también proyecta su imagen del espejo que proyecta B, siendo la nueva imagen C’. B también se refleja en otra nueva reflexión produciendo B’ como imagen. Las dos imágenes B’ y C’ siempre se fusionan para formar una sola imagen, al menos con la disposición ortogonal de estos espejos.






Si son 3 espejos tenemos 3 planos que dividen el espacio en 8 partes, por lo que tenemos 8 prismas (aunque 1 no se ve). La imagen de un prisma completo que servía en la figura anterior vale ahora para los prismas que están por debajo, siempre que los espejos tengan esta disposición aparecerá la figura en su segunda imagen completa, independientemente de la colocación de la figura respecto a los espejos.









Separando el prisma de los espejos podemos observar la primera consecuencia, hay una simetría espacial que transforma a A en B y en C produciendo sus imágenes inversas, pero la imagen D, que es una reflexión segunda, o imagen de la imagen respecto a A ya no es una simetría obtenida mediante perpendiculares a un plano. A se transforma en D por el equivalente en el plano a la simetría central (o una homotecia inversa negativa en la que las distancias al centro son invariantes). A se transforma en D por una simetría axial en el espacio, donde la intersección de los espejos es el eje y cada punto tiene su homólogo a igual distancia y siempre en un plano perpendicular respecto al eje.




Para calcular la reflexión sobre un cuerpo que está a cierta altura o separado del suelo, se determina el eje T que es la recta de intersección de la prolongación del plano P con el plano del suelo, sobre el que se calculan las simetrías del plano azul.
La proyección ortogonal E1 de la esfera E sobre el suelo y su sombra Es están alineados en una recta que se corta en un punto G de T. Las imágenes de estos puntos E1’ y Es’ también se cortarán sobre G.






La Perspectiva curvilínea de un espejo que refleja el espacio circundante y que abarca un gran ángulo se rige por las mismas leyes que las que corresponden a los espejos planos.

















Para calcular la reflexión de la esfera roja sobre la esfera reflectante, se lanza un rayo cualquiera a sobre la superficie reflectante desde el centro del objeto hasta que incide en un punto P de la misma. Por P y el centro de la esfera O pasa el eje de simetría de la recta a y su recta reflejada a’. La intersección de la recta a’ prolongada por dentro de la esfera con la recta que une el centro de la esfera O con la esfera roja es la reflexión del centro del objeto que queríamos calcular.
Una vez que hemos calculado la reflexión del centro de la esfera roja, la reflexión de toda la superficie esférica será una esfera homotética de la anterior -algo deformada- cuyo centro O de la misma es el de un cono tangente a la esfera roja.
El ángulo de incidencia que forma la recta a ti el eje es igual al ángulo reflejado que forma la recta a’y el eje, considerando por P un plano tangente a la esfera y el eje normal para ese plano.








Un objeto enteramente reflectante como puede ser una esfera cromada proyecta su sombra sobre el suelo; es igual que cualquier objeto pero carece de sombra propia, ya que está reflejando todo el entorno.
En la esfera podemos ver reflejado todo el plano del suelo que rodea el contorno de la esfera y el cielo junto con el foco de luz y su reflexión sobre el suelo. La zona oscura que tiene en el extremo derecho inferior corresponde a la reflexión de la sombra arrojada sobre el suelo, no a la sombra propia del objeto como pudiera parecer. En consecuencia las sombras y las reflexiones son elementos inversamente proporcionales, esto quiere decir que cuanto mayor sea la reflexión que se genera en un objeto menos sombras va a mostrar, como puede ser el caso de una figura cuyas caras son espejos.















Para un cilindro tendríamos el mismo caso que el anterior, una recta a sale reflejada respecto a un eje e ortogonal al eje del cilindro con igual ángulo con el que ha llegado. El rayo incidente que sale del objeto y el reflejado que rebotan en la superficie cilíndrica forman el mismo ángulo respecto al eje de simetría e y están todos en un mismo plano. Prolongamos a continuación el rayo reflejado a` hasta la perpendicular desde el punto P hasta el eje de revolución del cilindro. En la intersección de estas dos rectas tenemos la reflexión del punto P que es P’.





Aquí tenemos el mismo caso que el anterior, por el punto A centro de la esfera lanzamos un rayo incidente en la superficie cilíndrica n que sale reflejado n’ con igual ángulo respecto a la normal e. Al hacer una recta perpendicular t a la superficie cilíndrica tenemos en la intersección con n’ el reflejo R del punto A.
Para calcular la sombra arrojada S de la esfera seguimos el mismo procedimiento,












Una forma de calcular reflejos sobre superficies con curvatura prescindiendo de las curvas de la misma, consiste en convertir las superficies curvas en planos rectos. De esta forma sobre el cilindro se refleja la recta m y se transforma en m’.
Si queremos hacer el cálculo considerando el cilindro como un prisma con infinidad de planos, determinamos el reflejo sobre cada uno de esos planos y la línea quebrada m’’ que determina la reflexión de la recta m es suplantada por una curva aproximada a los puntos que se han calculado. Para determinar un segmento cualquiera sobre una de estas caras del prisma, calculamos el punto de corte de la traza horizontal del plano reflectante e con la recta m de la cual queremos obtener su reflexión. Respecto al plano reflectante que pasara por e, tenemos que la recta m se refleja con un ángulo igual respecto a la línea e. Por tanto la reflexión de la recta m sobre el plano de traza e es la recta b, recta simétrica de m respecto a la traza del plano e.




Aquí observamos resuelto el mismo ejercicio pero definiendo el prisma sustituto del cilindro con un menor número de planos. Cuando el número de planos es muy pequeño es difícil a veces determinar la curva que se ajusta al reflejo poligonal de la recta, por ello es aconsejable definirlo por un número de planos considerable.













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En la figura podemos observar la transformación de un cono en un cilindro, éste en una esfera, a continuación ésta se transforma en un cono invertido que concluye por apoyarse en una generatriz sobre el plano horizontal tras un pequeño giro.
La figura está dentro de un cubo al que le falta una de las caras laterales y otra cara superior, dejando ver por el hueco el fondo en color negro. Las otras cuatro caras aparecen en color rojo, verde, azul y amarillo.
En donde podemos percibir perfectamente la constitución de estas caras es en la reflexión de la superficie cuando se torna esfera, ya que pese a tener gran deformación, es una imagen reflejada del entorno más acorde a nuestra visión retiniana, que también transforma las líneas rectas en curvas pero que no lo percibimos fácilmente pues éste detalle corresponde a la visión periférica, no foveal, siendo esta última una zona de visión nítida pero con un ángulo muy pequeño y de la que tenemos realmente consciencia de los detalles que vemos, siempre zonas limitadas.
La disposición de las líneas de separación entre los diferentes planos del cubo es aproximada en la reflexión sobre el cono a sus generatrices, a continuación en la reflexión sobre el cilindro las verticales se mantienen, cuando se transforma en esfera las verticales pasan a ser líneas curvas, representando sobre el mismo casi todo el espacio circundante. Por último al invertirse el cono las generatrices que reflejan las líneas de intersección de los planos persisten con aproximación, incluso con el giro que apoya la figura sobre el plano horizontal.




En la figura podemos observar las tres caras reflejadas (rojo, verde y azul) sobre el cono reflectante y parte del suelo (en color amarillo) en los laterales, también podemos observar en color negro del espacio exterior correspondiente a una cara lateral y otra superior que le falta al cubo, en el que está el cono. Observamos también el punto de luz que ilumina el cono en color blanco delante del plano azul. La reflexión de los elementos se adecuan en gran similitud a las generatrices del cono.


Para calcular la reflexión de las líneas de intersección de los planos sobre el cono, podemos considerar el cono como infinitos cilindros, y estos como prismas de infinidad de caras, sobre las que calculamos la reflexión.




En el caso del cilindro, las líneas de intersección de los planos que se reflejan separando uno de otro, también coinciden con las generatrices de la superficie. Ello es debido a que el cilindro es el caso particular del cono en el que el vértice ha fugado al infinito, de esta manera las generatrices que pasaban por el vértice del cono se alejan hasta un punto en el infinito por lo que aparecen verticales.
Para determinar la reflexión de las mismas podemos hacer la reflexión de las verticales y determinar el punto donde empiezan a generarse calculando la reflexión del punto correspondiente con su cota.




En la esfera podemos observar perfectamente los cuatro planos en color rojo, azul, amarillo y verde. También observamos las dos caras que le faltan al cubo en color negro, junto con el punto de luz que ilumina la esfera.





En el cono invertido se pueden percibir las líneas de reflexión que separan los planos verde, rojo y amarillo, incluida la reflexión de la sombra proyectada del cono. Las líneas se adecuan en gran medida a las generatrices del cono, pero se curvan por estar en la zona periférica de la superficie.






El cono apoyado sobre el plano horizontal con una reflexión parecida a la de la primera imagen, en la que las líneas de separación entre planos y zonas de oscuridad y luz son aproximadas a las generatrices del mismo.






En la pieza podemos observar la combinación de las sombras propias y arrojadas de la figura con las reflexiones correspondientes. Podemos observar en la pieza que las reflexiones tienen más fuerza sobre las zonas sombreadas y sobre las zonas cercanas, perdiendo nitidez en zonas con más alejamiento, lo mismo pasa con las sombras, más nítidas e intensas cerca del objeto.





La luz que ilumina la figura es puntual ya que las sombras proyectadas de las verticales w q concurren en un punto, este punto es la proyección ortogonal de la luz sobre el plano horizontal.
Si construimos la dirección de los rayos h u en el espacio definido por puntos límites de las sombras y los puntos de la pieza correspondientes, tenemos que en la intersección de estas dos líneas h u, está el punto de luz e incide sobre la vertical de la intersección de las rectas w q.
Tenemos que una recta cualquiera horizontal m proyecta su sombra paralela a ella m’s y más nítida que otra f éste más alejada del suelo con su correspondiente sombra f’s. Esta línea de sombra se refleja sobre la pieza en su cara sombreada mediante la recta m’, m se refleja también sobre la cara vertical de la pieza provocando la línea de reflexión m’’.
La reflexión del segmento vertical B tiene más fuerza sobre la sombra B’ que sobre la zona de luz.
Un punto cualquiera J tiene su punto reflejado J’ a igual distancia respecto al plano de simetría de la pieza, la cara de la pieza es el plano de simetría cuyo punto y su imagen están en una ortogonal al mismo y a igual distancia.
J es la sombra proyectada de un punto de una arista de la pieza y su punto reflejado J’ tiene más nitidez por ser reflexión de la sombra y estar sobre una zona obscura de la reflexión que otra recta d sobre una zona de luz con su correspondiente segmento reflejado d’. La oscuridad de una cara en sombra, suma su tonalidad a la sombra proyectada x y reflejada a continuación sobre esta misma cara x’.
Observamos el simétrico P’ del punto P respecto al plano de simetría que es la cara de la figura y que están en una perpendicular a la recta c, traza de la cara de la figura, ambos a igual distancia de la misma. Observamos también con poca fuerza el simétrico A’ del punto A, por estar sobre una zona de luz, lo mismo sucede con el punto E y su simétrico E’.


En la pieza podemos observar los detalles antes expuestos, que la sombra proyectada unida a la reflexión del objeto provoca una mayor tonalidad en la intersección de ambas. Que las sombras proyectadas son más nítidas cuanto más cerca estén del objeto.
Como novedad podemos observar que la pieza al tener una textura rugosa, la reflexión de las aristas sobre las caras empieza por ser nítida al lado de ellas mientras que se muestran difusas cuanto más alejadas estén. Que como en toda pieza reflectante, la superficie metálica muestra aparte de las sombras y las reflexiones una tonalidad siempre en degradado, debido a que refleja también la tonalidad exterior del ambiente.





VÍDEO DE SOMBRAS Y REFLEJOS DE UN OBJETO


Cuando existe una multiplicidad de reflexiones resulta complicado hacer el cálculo, en el dibujo un prisma está apoyado en una arista PC del mismo sobre una superficie reflectante, y el prisma también es otra superficie reflectante. El punto A refleja su simétrico respecto al eje e, que es la intersección del plano vertical que pasa por AP con el plano donde se apoya. Por tanto de forma general y en una primera reflexión tenemos que la cara del prisma APC se refleja según A’PC. Pero la reflexión respecto a este último plano del punto A se tiene que es A’’. Y la reflexión del segmento A’P respecto al plano APC convierte al mismo en la línea reflejada PB, etc.

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En la animación podemos observar la transición entre la superficie cóncava y la convexa. Podemos observar la forma en que se transforma la imagen, invirtiéndose cuando pasa de ser un toro a un hiperboloide de una hoja.
Para calcular la imagen reflejada sobre las superficies, podemos transformar las superficies curvas en pequeños planos o facetas y calcular la reflexión sobre cada uno de sus planos. La línea quebrada que queda reflejada sobre las facetas define los puntos de la curva reflejada, que es la reflexión de la línea de intersección de dos planos.



La reflexión del entorno del cilindro se puede calcular considerando éste como un prisma de infinitas caras. En la figura podemos observar como el toro se transformó en un cilindro, de manera que la curva de revolución en torno al eje que era una circunferencia, se fue transformando en elipse y a continuación en línea recta. De ser una recta y generar en su exterior una superficie cilíndrica con sus generatrices verticales análogas a la reflexión que se produce en un prisma.




pasa a ser una superficie cóncava con forma de hipérbola que invierte la reflexión. Observamos que la cara de color amarillo que sobre el cilindro se reflejaba en la parte de abajo pasa ahora a estar en la parte superior. De esta manera podemos observar en la práctica y bajo ciertas condiciones que si una superficie es cóncava la imagen aparece al revés, invertida, mientras que si la superficie es convexa, la imagen permanece del derecho.



En la imagen observamos el hiperboloide de una hoja suavizado por sus bordes superior e inferior. Por ser una superficie cóncava la imagen se refleja invertida: el suelo aparece reflejado en la parte superior y el espacio circundante oscuro y la luz que la ilumina reflejado en la parte inferior.



Una equivalencia con el juego del billar


Existe una equivalencia entre las leyes de la mecánica y los objetos reflejados. Una bola de billar que rueda sobre un plano y rebota contra otra sale proyectada con un ángulo igual al original. Lo que se aplica en la ley de reflexión con el rayo incidente y reflejado vale para los objetos en su trayectoria, como pasa en este juego. Esto sirve para calcular la trayectoria de la bola y el número de golpes que necesita para meterse en un agujero siguiendo la dirección correspondiente. Por tanto las líneas simétricas de la trayectoria de la bola siguen siempre dos únicas direcciones, las que corresponden a los rayos incidente y reflejado, o en este caso incidente y rebotado.
Considerando el plano del juego del billar como el rectángulo de color siena claro, queremos que tras un golpe a la bola en el punto P entre por el agujero después de tres golpes. Construimos una matriz con varios tableros, los que necesitamos son los amarillos. Unimos el punto P con el punto tres. Observamos que la línea P3 toca a los lados de los rectángulos en el punto 1, 2,3. Esto quiere decir que para meterse la bola en el agujero, va a tocar en el rectángulo original tres veces.

Aquí tenemos otro caso en el que dando el mismo número de golpes va entrar por otro agujero. Si la recta P3 corta a los rectángulos en 3 puntos, ello quiere decir que en el rectángulo original va a tocar también en 3 puntos incluido el hueco por el que se mete.


Para calcular con total precisión porque agujero para entrar la bola, basta con aplicar simetrías. En el dibujo la bola partiendo del punto P va a entrar en el agujero con cuatro golpes ya que intercepta a los tres rectángulos amarillos en cuatro puntos, incluyendo el agujero como un golpe más.
Para saber el punto por el que va a entrar basta con calcular el correspondiente del punto cuatro. Que el rectángulo que contiene el punto cuatro se gira en el espacio respecto al eje a y obtenemos su simétrico 4’’. Hacemos lo mismo con este punto y obtenemos su simétrico respecto al eje b en el punto 4’. Ello quiere decir que esté base del punto de entrada. En síntesis lo que se hace es plegar los planos para ir obteniendo el simétrico del punto final al que va dirigido la trayectoria recta.



En este otro caso tenemos el mismo ejemplo, se trata de meter la bola en el agujero tras ocho golpes, haciendo el simétrico del último cuadrilátero que contiene al punto ocho, hacemos el simétrico respecto a la línea que pasa por el siete, luego el simétrico del último respecto al eje que pasa por seis, luego con el siguiente respecto al eje que pasa por cinco, luego con el siguiente respecto al eje que pasa por cuarto, etcétera. Así obtenemos que el simétrico del punto 8 tras este producto de simetrías es el punto 8’ por donde va a entrar la bola.








Reflexiones múltiples
En el dibujo en planta tenemos un objeto o pieza representado por la letra P y tres espejos que lo rodean e1 e2 e3, vamos a calcular las posibles reflexiones que se producen desde diferentes puntos de vista.




Como podemos observar, el objeto está formado por dos piezas de distintos colores, rojo y amarillo. Al reflejarse el objeto A sobre el primer espejo, tiene por imagen A’ la misma pieza pero invertida, la parte amarilla es la que está frente al espejo por lo que en su imagen se puede observar en primer plano.
Al reflejarse sobre el siguiente espejo tenemos que respecto a ese plano del espejo, la cara que mira para él es de color rojo, por lo que aparece su reflexión nuevamente invertida, y así hasta el infinito. Como tenemos que la imagen correlativa es siempre invertida, de ello se desprende que las impares son iguales, de esta forma tenemos color rojo, color amarillo, color rojo, color amarillo, con lo que el primer objeto es igual a su segunda reflexión, a su cuarta reflexión, a su sexta reflexión, etc.
Observamos además que como hemos visto, en planta los espejos e1 e3 no eran paralelos (imagen anterior), por lo que, al converger en un mismo punto, tenemos que todas sus imágenes también convergen en el mismo punto, ello quiere decir que los puntos O P Q L están sobre una circunferencia, cuyo centro es el de intersección de los ejes de simetría e1 e2, etc.











Tenemos otra perspectiva de los tres espejos, la pieza P se refleja sobre el primer espejo con su imagen invertida P’, de igual manera se refleja sobre el segundo espejo P’’ y éste refleja la reflexión P’’’ de la pieza sobre el espejo 3.
Como podemos observar el espejo tres muestra la imagen P’’’ del objeto P’’ sobre el espejo dos, y ello se obtiene haciendo una simetría de la pieza teniendo en cuenta la traza del plano tres. También se puede obtener considerando que la pieza P se refleja sobre el espejo cuatro en el punto P’’’’ (reflexión que no se puede observar en el dibujo). Al proyectar ambos elementos sobre el espejo dos, obtenemos la reflexión P’’ con su imagen P’’’.














Aquí observamos otra perspectiva de los tres espejos con sus trazas respectivas y la pieza más o menos centrada. Tenemos en el primer espejo que se refleja la traza b respecto al eje de simetría a, obteniendo de esta forma su imagen b’. Considerando la nueva imagen reflejada del plano 2, tenemos que por la traza de este plano b’ pasa la recta a que se refleja según la recta a’. Considerando esta última como la traza del plano de reflexión, tenemos que la recta b’ se refleja respecto al eje de simetría a’ como b3. De esta forma podemos deducir que un conjunto de espejos se reflejan alternando los dos planos de reflexión que se interceptan, por ejemplo los planos uno y dos, cuyas trazas son respectivamente las rectas a y b, se reflejan en el espejo de forma alterna, esto es, a, b’, a’, b3, etc.
Lo mismo se puede decir sobre otro plano cualquiera de reflexión, por ejemplo respecto a la traza c, tenemos que se refleja la recta b obteniendo como imagen la recta b’’. Podemos observar también que frente a la recta c tenemos la recta a, y esto aparece en la reflexión del espejo tres, respecto a la recta c tenemos la imagen de la recta a, que es la recta a tres. Si consideramos la traza a tres del nuevo plano de reflexión, tenemos que refleja la recta b’’ en la recta b5. No es necesario fijarse en las simetrías en el espacio, si las rectas concurrentes b’’ a3 aparecen en la reflexión, sus imágenes alternas aparecen a continuación, b’’, a3, b5, a6, y lo mismo en el otro sentido, b’’, a5, b6.
De igual forma tenemos la traza b del plano dos, que refleja la recta a en su imagen a’’. Considerando esta última como eje de simetría refleja la recta b en la imagen b4, y frente a la recta a’’ su imagen c’’. No hay que olvidar la posición de la pieza siempre dispuesta en forma circular respecto a la línea de intersección de dos planos de reflexión, así como los planos que se van reflejando sucesivamente sumando la tonalidad del precedente, como ejemplo tenemos que el plano dos se refleja respecto al plano uno según el plano 2’.





Tenemos en la imagen dos esferas, una metálica que genera reflexiones de todo su alrededor y otra de cristal que genera refracciones de todo lo que le rodea. Ambas aparecen reflejadas en infinitos planos dispuestos ambos como pudimos observar antes en cierto ángulo de convergencia. Toda recta m que une puntos de simetría de todas las imágenes y piezas originales tienen sus vértices sobre una circunferencia. Todos los ejes de simetría a’ b o líneas de intersección de los planos de los espejos con el suelo son una radiación que incide en un vértice, esto es, son un conjunto de rectas que pasan por un punto, el de la recta de intersección de los espejos con el suelo.







En la figura podemos observar la disposición de los dos espejos a b y las dos esferas en planta, junto con el punto de vista V desde el cual se observa la imagen anterior en perspectiva; las esferas se reflejan sobre el espejo b y su imagen simétrica se observa desde el punto V, obteniendo en la intersección de estos rayos visuales las imágenes de ambas, de esta forma la imagen de la esfera e se obtiene en la intersección de la recta V e’ con el espejo b en el punto B. Haciendo la reflexión del espejo a respecto al espejo b tenemos que su recta simétrica es la recta a’, sobre la que se reflejan las esferas ya reflejadas , de esta forma la reflejada e’ se transforma en una nueva esfera reflejada e’’. Esta nueva esfera reflejada se ve desde el punto de vista el intersección de la recta V e’’ con el plano b, esto es, en el punto C.









En la imagen podemos observar las dos esferas, una de cristal y otra metálica, su reflexión sobre dos planos y un punto de luz que las ilumina proyectando en la esfera metálica una zona de sombra y en la de cristal otra zona de sombra junto con un anillo de luz U llamado efecto cáustico. Podemos observar que las esferas se reflejan sobre el plano rojo T S y estos dos elementos reflejados aparecen refractados sobre la esfera de cristal de forma invertida, ya que el plano rojo también está invertido.
Tenemos tres planos en color rojo, verde y azul denominados respectivamente ACB. El espacio circundante es de color azul claro, con lo que tenemos que sobre la esfera se reflejan los tres planos de manera que los puntos de cada plano reflejado están alineados con el centro de la esfera. De esta manera el plano rojo de la izquierda aparece reflejado sobre la zona izquierda de la esfera, según nuestro punto de vista, el verde situado en la zona derecha aparece respectivamente sobre la zona derecha y así con todos los elementos. En la refracción sobre la esfera de cristal aparece todo lo contrario, como si se tratase de una simetría central la zona roja se refleja en la parte opuesta del esfera, de esta manera el plano A se refracta según el plano A’, y así con todos los demás elementos.











En la figura observamos otra vez las dos esferas, en la de cristal el efecto cáustico o de zona de concentración de luz arrojada sobre el suelo y que en la esfera aparece alineado con los dos puntos de luz o lustre de la esfera, el entrante y el saliente.
Mientras que el punto de luz correspondiente al brillo de la esfera metálica aparece alineado con el centro de la esfera y el punto de luz. Hay que destacar que el punto de luz reflejado tiene suficiente potencia como para rebasar la zona de sombra que arroja el prisma magenta sobre la esfera.








En la figura podemos observar otro ejemplo de reflexiones múltiples, dos esferas, una cromada incolora A o si se quiere de color plata y otra de color verdoso B, la primera A refleja la segunda B (B’) con la reflexión A’ de esta incluida (A’’), pero esta reflexión contiene a la reflexión de la anterior y esta a la reflexión del anterior y así hasta el infinito. Como pasaba con los planos que reflejaban las esferas, la disposición de los reflejos de las esferas es siempre alterna, ya que cuando una esfera refleja la otra, está también refleja la anterior con lo cual está reflejando la esfera que tiene al lado junto con la reflexión que contiene ésta y así hasta el infinito.











La hora que este reloj marca son las 15:25 horas, al menos aparentemente, pero aportamos un dato que cambia la hora: estamos de espaldas al reloj, pero lo vemos reflejado en el espejo, se trata de calcular la hora que es.
Como sabemos que un reflejo es una simetría en el que la imagen aparece invertida, para calcular la hora real tendremos que pensar en una simetría axial de eje vertical que pase por el centro del reloj...
Dios...¿Pero por qué vertical y no horizontal?







Como podemos observar en la figura de la izquierda el reloj aparece reflejado sobre un espejo por lo que si imaginamos el eje vertical que pasa por el centro del reloj las agujas serán simétricas respecto al eje de simetría, obteniendo de esta forma la hora real a la derecha, las 20, 35 horas.